Algèbre linéaire Exemples

$y^{2} - 6 y - 10 x + 74 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = - 10 x + 74$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 10 x + 74))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 10 x) - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 10$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 4$ par $74$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 296}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Soustrayez $296$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{40 x - 260}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Factorisez $20$ à partir de $40 x - 260$ .

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Étape 3.1.7.1

Factorisez $20$ à partir de $40 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) - 260}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.2

Factorisez $20$ à partir de $- 260$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 20 (- 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.3

Factorisez $20$ à partir de $20 (2 x) + 20 (- 13)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Réécrivez $20 (2 x - 13)$ comme $2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))$ .

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Étape 3.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5) (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 10 x) - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 10$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 4$ par $74$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 296}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $296$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{40 x - 260}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Factorisez $20$ à partir de $40 x - 260$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $20$ à partir de $40 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) - 260}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7.2

Factorisez $20$ à partir de $- 260$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 20 (- 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7.3

Factorisez $20$ à partir de $20 (2 x) + 20 (- 13)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Réécrivez $20 (2 x - 13)$ comme $2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))$ .

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5) (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 3 + \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 10 x) - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 10$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Multipliez $- 4$ par $74$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 296}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Soustrayez $296$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{40 x - 260}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Factorisez $20$ à partir de $40 x - 260$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $20$ à partir de $40 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) - 260}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.2

Factorisez $20$ à partir de $- 260$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 20 (- 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.3

Factorisez $20$ à partir de $20 (2 x) + 20 (- 13)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Réécrivez $20 (2 x - 13)$ comme $2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))$ .

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Étape 5.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5) (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 3 - \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 3 + \sqrt{5 (2 x - 13)}$

$y = 3 - \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 (2 x - 13)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 (2 x - 13) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $5 (2 x - 13) \geq 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 8.1.1

Divisez chaque terme dans $5 (2 x - 13) \geq 0$ par $5$ .

$\frac{5 (2 x - 13)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (2 x - 13)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 8.1.2.1.2

Divisez $2 x - 13$ par $1$ .

$2 x - 13 \geq \frac{0}{5}$

Étape 8.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$2 x - 13 \geq 0$

Étape 8.2

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 x \geq 13$

Étape 8.3

Divisez chaque terme dans $2 x \geq 13$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x \geq 13$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{13}{2}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{13}{2}$

Étape 8.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{13}{2}$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[\frac{13}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq \frac{13}{2}}$

Étape 10